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　　第 4 讲 计算式查找（哈希表的构造）——教学讲义 哈希法 又称 散列法、杂凑法 或关键字地址计算法 等，相应的表称为 哈希表、散列表、 杂凑表 等。这种方法的 基本思想 是：首先在元素的关键字 k 和元素的存储位置 p 之间建立一 个对应关系 H，使得 p=H (k)，H 称为哈希函数 。创建哈希表时，把关键字为 k 的元素直接存 入地址为 H (k)的单元；以后当查找关键字为 k 的元素时，再利用哈希函数计算出该元素的 存储位置 p=H (k) ，从而达到按关键字直接存取元素的目的。 当关键字集合很大时，关键字值不同的元素可能会映象到哈希表的同一地址上，即  k1 ≠ k2 ，但 H（k1）=H（k2），这种现象称为 冲突， 此时称 k1 和 k2 为同义词。 实际中，冲突是不可避免的，只能通过改进哈希函数的性能来减少冲突。 综上所述，哈希法主要包括以下两方面的内容： 1） 如何构造哈希函数 2） 如何处理冲突。 一、 哈希函数的构造方法 构造哈希函数的原则是： ①函数本身便于计算； ②计算出来的地址分布均匀， 即对任一 关键字 k，H (k) 对应不同地址的概率相等，目的是尽可能减少冲突。 下面介绍构造哈希函数常用的五种方法。 1． 数字分析法 如果事先知道关键字集合， 并且每个关键字的位数比哈希表的地址码位数多时，  可以 从关键字中选出分布较均匀的若干位，构成哈希地址。例如，有 80 个记录，关键字为 8 位 十进制整数 d1d2d3?d7d8，如哈希表长度取为 100，则哈希表的地址空间为： 0~99。假设经过 分析，各关键字中 d4 和 d7 的取值分布较均匀， 则哈希函数为： H (key)= H (d1d2d3?d7d8)=d4d 7。 例如， H =43 ，H =06 。相反，假设经过分析，各关键字中 d1 和 d 8 的取 值 分 布极 不 均匀 ， d1 都等 于 5 ， d8 都 等 于 2 ， 此时， 如 果哈 希 函 数 为 ： H (key)= H (d1 d2d3?d7d8)=d1d 8，则所有关键字的地址码都是 52，显然不可取。 2． 平方取中法 当无法确定关键字中哪几位分布较均匀时，可以先求出关键字的平方值，然后按需 要取平方值的中间几位作为哈希地址。 这是因为：平方后中间几位和关键字中每一位都相关， 故不同关键字会以较高的概率产生不同的哈希地址。 例：我们把英文字母在字母表中的位置序号作为该英文字母的内部编码。例如  K 的 内部编码为 11， E的内部编码为 05，Y 的内部编码为 25，A 的内部编码为 01, B 的内部编码 为 02。由此组成关键字 “ KEYA” 的内部代码为 ，同理我们可以得到关键字 “ KYAB”、 “ AKEY”、“ BKEY” 的内部编码。之后对关键字进行平方运算后，取出第 7 到第 9 位作为该 关键字哈希地址，如下图所示。 关键字 内部编码 内部编码的平方值 H(k)关键字的哈希地址 KEYA 778 KYAB 795 AKEY 265 BKEY 315 平方取中法求得的哈希地址 3． 分段叠加法 这种方法是按哈希表地址位数将关键字分成位数相等的几部分（最后一部分可以较短）  ， 然后将这几部分相加， 舍弃最高进位后的结果就是该关键字的哈希地址。 具体方法有 折叠法 与移位法。 移位法是将分割后的每部分低位对齐相加， 折叠法是从一端向另一端沿分割界来 回折叠 （奇数段为正序， 偶数段为倒序） ，然后将各段相加。 例如： key=65, 哈希表长度为 1000 ，则应把关键字分成 3 位一段，在此舍去最低的两位 65 ，分别进行移位 叠加和折叠叠加，求得哈希地址为 105 和 907，如下图所示。 1 2 3 1 2 3 6 0 3 3 0 6 2 4 7 2 4 7 1 1 2 2 1 1 +） 0 2 0 +） 0 2 0 ———————— ————————— 1 1 0 5 9 0 7 (a) 移位叠加 (b) 折叠叠加 由叠加法求哈希地址 4． 除留余数法 假设哈希表长为 m ，p 为小于等于 m 的最大素数，则哈希函数为 h（k）=k % p ，其中 %为模 p 取余运算。 例如，已知待散列元素为（ 18，75，60，43，54， 90，46），表长 m=10，p=7，则有 h(18)=18 %7=4 h(75)=75 %7=5 h(60)=60 %7=4 h(43)=43 %7=1 h(54)=54 %7=5 h(90)=90 %7=6 h(46)=46 %7=4 此时冲突较多。为减少冲突，可取较大的  m 值和 p 值，如 m=p=13，结果如下： h(18)=18 %13=5 h(75)=75 %13=10 h(60)=60 %13=8 h(43)=43 %13=4 h(54)=54 %13=2 h(90)=90 %13=12 h(46)=46 %13=7 此时没有冲突，如下图所示。 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 54 43 18 46 60 75 90 除留余数法求哈希地址 5． 伪随机数法 采用一个伪随机函数做哈希函数，即  H(key)=random(key) 。 在实际应用中，应根据具体情况，灵活采用不同的方法，并用实际数据测试它的性能， 以便做出正确判定。通常应考虑以下五个因素 ： 计算哈希函数所需的时间。 关键字的长度。 哈希表的大小。 关键字分布的情况。 记录查找的频率 8.4.2 处理冲突的方法 通过构造性能良好的哈希函数， 可以减少冲突， 但一般不可能完全避免冲突， 因此解决 冲突是哈希法的另一个关键问题。 创建哈希表和查找哈希表都会遇到冲突， 两种情况下解决 冲突的方法应该一致。 下面以创建哈希表为例， 说明解决冲突的方法。 常用的解决冲突方法有以下四种： 1. 开放定址法 这种方法也称 再散列法， 其基本思想是：当关键字 key 的初始哈希地址 h0= H（ key） 出现冲突时，以 h0 为基础，产生另一个地址 h1，如果 h 1 仍然冲突，再以 h0 为基础，产生另 一个哈希地址 h2，?，直到找出一个不冲突的地址 hi ，将相应元素存入其中。这种方法有 一个通用的再散列函数形式： hi=（H（ key） +di） %m  i=1 ， 2，?， n 或： hi=（